Thème 3 – Solides, volumes et aires
Section 3.1 – Volumes et aires de solides simples
Dans cette section, nous étudions les volumes et les aires des solides de base :
- Cube : \( V = a^3 \), \( A = 6a^2 \)
- Pavé droit : \( V = L \times l \times h \), \( A = 2(Ll + Lh + lh) \)
- Cylindre : \( V = \pi r^2 h \), \( A_{lat} = 2 \pi r h \)
Exemples résolus
Exercice 11 — Aire d’un rectangle
Énoncé :
Un rectangle mesure 10 cm de long et 5 cm de large. Calcule son aire.
Résolution :
Pour calculer l’aire d’un rectangle, on utilise la formule : \( A = L \times l \)
Ici, la longueur \( L = 10\;\text{cm} \) et la largeur \( l = 5\;\text{cm} \).
On effectue le calcul : \( A = 10 \times 5 = 50\;\text{cm}^2 \)
L’aire du rectangle est donc de 50 centimètres carrés.
Réponse : \( A = 50\;\text{cm}^2 \)
Exercice 12 — Aire d’un triangle
Énoncé :
Un triangle a une base de 8 cm et une hauteur de 5 cm. Calcule son aire.
Résolution :
Pour calculer l’aire d’un triangle, on utilise : \( A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \)
Ici, la base mesure 8 cm et la hauteur 5 cm.
On applique la formule : \( A = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20\;\text{cm}^2 \)
Réponse : \( A = 20\;\text{cm}^2 \)
Exercice 13 — Aire d’un cercle
Énoncé :
Un cercle a un rayon de 4 cm. Calcule son aire.
Résolution :
L’aire d’un cercle est donnée par : \( A = \pi r^2 \)
Le rayon est \( r = 4\;\text{cm} \), donc :
\( A = \pi \times 4^2 = \pi \times 16 \approx 50{,}27\;\text{cm}^2 \)
Réponse : \( A \approx 50{,}27\;\text{cm}^2 \)
Exercice 14 — Aire d’un carré
Énoncé :
Un carré a un côté de 12 cm. Calcule son aire.
Résolution :
L’aire d’un carré est obtenue par : \( A = c^2 \)
Ici, \( c = 12\;\text{cm} \), donc :
\( A = 12^2 = 144\;\text{cm}^2 \)
Réponse : \( A = 144\;\text{cm}^2 \)
Exercice 15 — Aire d’un rectangle
Énoncé :
Un rectangle mesure 15 cm de long et 6 cm de large. Calcule son aire.
Résolution :
On utilise la formule : \( A = L \times l \)
Longueur : 15 cm, largeur : 6 cm
\( A = 15 \times 6 = 90\;\text{cm}^2 \)
Réponse : \( A = 90\;\text{cm}^2 \)
Exercice 16 — Aire d’un triangle
Énoncé :
Un triangle a une base de 10 cm et une hauteur de 7 cm. Calcule son aire.
Résolution :
Utilisons la formule de l’aire : \( A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \)
\( A = \frac{1}{2} \times 10 \times 7 = 35\;\text{cm}^2 \)
Réponse : \( A = 35\;\text{cm}^2 \)
Exercice 17 — Aire d’un cercle
Énoncé :
Un cercle a un rayon de 10 cm. Calcule son aire.
Résolution :
Formule : \( A = \pi r^2 \)
Rayon : 10 cm
\( A = \pi \times 10^2 = \pi \times 100 \approx 314{,}16\;\text{cm}^2 \)
Réponse : \( A \approx 314{,}16\;\text{cm}^2 \)
Exercice 18 — Aire d’un triangle
Énoncé :
Un triangle a une base de 6 cm et une hauteur de 3 cm. Calcule son aire.
Résolution :
On applique la formule : \( A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \)
\( A = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9\;\text{cm}^2 \)
Réponse : \( A = 9\;\text{cm}^2 \)
Exercice 19 — Aire d’un rectangle
Énoncé :
Un rectangle mesure 20 cm de long et 4 cm de large. Calcule son aire.
Résolution :
Formule : \( A = L \times l \)
\( A = 20 \times 4 = 80\;\text{cm}^2 \)
Réponse : \( A = 80\;\text{cm}^2 \)
Exercice 20 — Aire d’un carré
Énoncé :
Un carré a un côté de 9 cm. Calcule son aire.
Résolution :
La formule de l’aire d’un carré est : \( A = c^2 \)
Ici, le côté mesure 9 cm, donc :
\( A = 9^2 = 81\;\text{cm}^2 \)
Réponse : \( A = 81\;\text{cm}^2 \)
Section 3.2 – Volumes et aires de solides complexes
Cours :
Les solides complexes sont composés de plusieurs solides simples. Le volume total est la somme des volumes des solides composants.
Quelques solides étudiés :
- Cône : volume \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
- Sphère : volume \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \)
- Pyramide : volume \( V = \frac{1}{3} \times \text{aire base} \times \text{hauteur} \)
Exercice 21 — Volume d’un cône
Énoncé :
Calcule le volume d’un cône de rayon 4 cm et de hauteur 9 cm.
Résolution :
On applique la formule : \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
Ici, \( r = 4 \) cm et \( h = 9 \) cm.
Donc : \( V = \frac{1}{3} \pi \times 4^2 \times 9 = \frac{1}{3} \pi \times 16 \times 9 = 48\pi \approx 150{,}8\;\text{cm}^3 \)
Réponse : \( V \approx 150{,}8\;\text{cm}^3 \)
Exercice 22 — Volume d’une sphère
Énoncé :
Calcule le volume d’une sphère de rayon 6 cm.
Résolution :
Utilisons la formule : \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \)
Ici, \( r = 6 \) cm, donc :
\( V = \frac{4}{3} \pi \times 6^3 = \frac{4}{3} \pi \times 216 = 288\pi \approx 904{,}8\;\text{cm}^3 \)
Réponse : \( V \approx 904{,}8\;\text{cm}^3 \)
Exercice 23 — Volume d’une pyramide
Énoncé :
Calcule le volume d’une pyramide dont la base a une aire de 20 cm² et la hauteur est 15 cm.
Résolution :
On applique la formule : \( V = \frac{1}{3} \times \text{aire base} \times \text{hauteur} \)
Donc : \( V = \frac{1}{3} \times 20 \times 15 = 100\;\text{cm}^3 \)
Réponse : \( V = 100\;\text{cm}^3 \)
Exercice 24 — Volume d’un solide composé (cylindre + cône)
Énoncé :
Un solide est formé d’un cylindre de rayon 5 cm et de hauteur 10 cm surmonté d’un cône de même base et hauteur 6 cm. Calcule le volume total.
Résolution :
Volume du cylindre : \( V = \pi r^2 h = \pi \times 25 \times 10 = 250\pi \)
Volume du cône : \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 25 \times 6 = 50\pi \)
Volume total : \( 250\pi + 50\pi = 300\pi \approx 942\;\text{cm}^3 \)
Réponse : \( V \approx 942\;\text{cm}^3 \)
Exercice 25 — Surface totale d’une sphère
Énoncé :
Calcule la surface totale d’une sphère de rayon 7 cm.
Résolution :
Formule : \( A = 4\pi r^2 \)
\( A = 4\pi \times 49 = 196\pi \approx 615{,}75\;\text{cm}^2 \)
Réponse : \( A \approx 615{,}75\;\text{cm}^2 \)
Exercice 26 — Volume d’un cône
Énoncé :
Calcule le volume d’un cône de hauteur 12 cm et de rayon 3 cm.
Résolution :
On utilise la formule : \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
\( V = \frac{1}{3} \pi \times 3^2 \times 12 = \frac{1}{3} \pi \times 9 \times 12 = 36\pi \approx 113{,}1\;\text{cm}^3 \)
Réponse : \( V \approx 113{,}1\;\text{cm}^3 \)
Exercice 27 — Volume d’une pyramide à base carrée
Énoncé :
Calcule le volume d’une pyramide dont la base est un carré de 6 cm de côté et dont la hauteur est 10 cm.
Résolution :
Aire de la base : \( 6 \times 6 = 36\;\text{cm}^2 \)
Volume : \( V = \frac{1}{3} \times 36 \times 10 = 120\;\text{cm}^3 \)
Réponse : \( V = 120\;\text{cm}^3 \)
Exercice 28 — Volume d’une sphère
Énoncé :
Calcule le volume d’une sphère de rayon 5 cm.
Résolution :
Formule : \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \)
\( V = \frac{4}{3} \pi \times 125 = \frac{500}{3} \pi \approx 523{,}6\;\text{cm}^3 \)
Réponse : \( V \approx 523{,}6\;\text{cm}^3 \)
Exercice 29 — Volume d’un solide composé (pavé + cylindre)
Énoncé :
Un solide est composé d’un pavé droit de dimensions 10 × 8 × 5 cm et d’un cylindre de rayon 4 cm et de hauteur 7 cm posé dessus. Calcule le volume total.
Résolution :
Volume du pavé : \( 10 \times 8 \times 5 = 400\;\text{cm}^3 \)
Volume du cylindre : \( \pi \times 4^2 \times 7 = \pi \times 16 \times 7 = 112\pi \approx 351{,}86\;\text{cm}^3 \)
Volume total : \( 400 + 351{,}86 = 751{,}86\;\text{cm}^3 \)
Réponse : \( V \approx 751{,}86\;\text{cm}^3 \)
Exercice 30 — Aire latérale d’un cône
Énoncé :
Calcule l’aire latérale d’un cône de rayon 5 cm et de hauteur 12 cm.
Résolution :
Calcul de la génératrice : \( \ell = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \)
Formule de l’aire latérale : \( A_{lat} = \pi r \ell = \pi \times 5 \times 13 = 65\pi \approx 204{,}2\;\text{cm}^2 \)
Réponse : \( A_{lat} \approx 204{,}2\;\text{cm}^2 \)
Section 3.3 – Aires de figures planes
Cours :
Pour calculer l’aire des figures planes, on utilise différentes formules selon la forme :
- Carré : \( A = c^2 \)
- Rectangle : \( A = L \times l \)
- Triangle : \( A = \frac{b \times h}{2} \)
- Cercle : \( A = \pi r^2 \)
Exercice 1 — Aire d’un carré
Énoncé :
Calcule l’aire d’un carré de côté 7 cm.
Résolution :
Aire : \( A = 7^2 = 49\; ext{cm}^2 \)
Réponse : \( A = 49\; ext{cm}^2 \)
Exercice 2 — Aire d’un rectangle
Énoncé :
Calcule l’aire d’un rectangle de longueur 10 cm et largeur 5 cm.
Résolution :
Aire : \( A = 10 \times 5 = 50\; ext{cm}^2 \)
Réponse : \( A = 50\; ext{cm}^2 \)
Exercice 3 — Aire d’un triangle
Énoncé :
Calcule l’aire d’un triangle de base 8 cm et hauteur 5 cm.
Résolution :
Aire : \( A = \frac{8 \times 5}{2} = 20\; ext{cm}^2 \)
Réponse : \( A = 20\; ext{cm}^2 \)
Exercice 4 — Aire d’un cercle
Énoncé :
Calcule l’aire d’un cercle de rayon 4 cm.
Résolution :
Aire : \( A = \pi \times 4^2 = \pi \times 16 \approx 50{,}27\; ext{cm}^2 \)
Réponse : \( A \approx 50{,}27\; ext{cm}^2 \)
Exercice 5 — Aire d’un carré
Énoncé :
Calcule l’aire d’un carré de côté 12 cm.
Résolution :
Aire : \( A = 12^2 = 144\; ext{cm}^2 \)
Réponse : \( A = 144\; ext{cm}^2 \)
Exercice 6 — Aire d’un rectangle
Énoncé :
Calcule l’aire d’un rectangle de 15 cm de long et 6 cm de large.
Résolution :
Aire : \( A = 15 \times 6 = 90\; ext{cm}^2 \)
Réponse : \( A = 90\; ext{cm}^2 \)
Exercice 7 — Aire d’un triangle
Énoncé :
Calcule l’aire d’un triangle avec une base de 10 cm et une hauteur de 7 cm.
Résolution :
Aire : \( A = \frac{10 \times 7}{2} = 35\; ext{cm}^2 \)
Réponse : \( A = 35\; ext{cm}^2 \)
Exercice 8 — Aire d’un cercle
Énoncé :
Calcule l’aire d’un cercle de rayon 10 cm.
Résolution :
Aire : \( A = \pi \times 10^2 = 100\pi \approx 314{,}16\; ext{cm}^2 \)
Réponse : \( A \approx 314{,}16\; ext{cm}^2 \)
Exercice 9 — Aire d’un triangle
Énoncé :
Calcule l’aire d’un triangle de base 6 cm et hauteur 3 cm.
Résolution :
Aire : \( A = \frac{6 \times 3}{2} = 9\; ext{cm}^2 \)
Réponse : \( A = 9\; ext{cm}^2 \)
Exercice 10 — Aire d’un rectangle
Énoncé :
Calcule l’aire d’un rectangle de 20 cm sur 4 cm.
Résolution :
Aire : \( A = 20 \times 4 = 80\; ext{cm}^2 \)
Réponse : \( A = 80\; ext{cm}^2 \)
Section 3.4 – Périmètres des figures planes
Cours :
Le périmètre d’une figure plane est la longueur totale du contour :
- Carré : \( P = 4c \)
- Rectangle : \( P = 2(L + l) \)
- Triangle : \( P = a + b + c \)
- Cercle : \( P = 2\pi r \)
Exercice 11 — Périmètre d’un carré
Énoncé :
Calcule le périmètre d’un carré de côté 6 cm.
Résolution :
Formule : \( P = 4c \)
\( P = 4 \times 6 = 24\;\text{cm} \)
Réponse : \( P = 24\;\text{cm} \)
Exercice 12 — Périmètre d’un rectangle
Énoncé :
Calcule le périmètre d’un rectangle de 10 cm de long et 5 cm de large.
Résolution :
Formule : \( P = 2(L + l) \)
\( P = 2 \times (10 + 5) = 2 \times 15 = 30\;\text{cm} \)
Réponse : \( P = 30\;\text{cm} \)
Exercice 13 — Périmètre d’un triangle
Énoncé :
Calcule le périmètre d’un triangle de côtés 5 cm, 6 cm et 7 cm.
Résolution :
Formule : \( P = a + b + c \)
\( P = 5 + 6 + 7 = 18\;\text{cm} \)
Réponse : \( P = 18\;\text{cm} \)
Exercice 14 — Périmètre d’un cercle
Énoncé :
Calcule le périmètre d’un cercle de rayon 4 cm.
Résolution :
Formule : \( P = 2\pi r \)
\( P = 2\pi \times 4 = 8\pi \approx 25{,}13\;\text{cm} \)
Réponse : \( P \approx 25{,}13\;\text{cm} \)
Exercice 15 — Périmètre d’un carré
Énoncé :
Calcule le périmètre d’un carré de côté 15 cm.
Résolution :
Formule : \( P = 4c \)
\( P = 4 \times 15 = 60\;\text{cm} \)
Réponse : \( P = 60\;\text{cm} \)
Exercice 16 — Périmètre d’un rectangle
Énoncé :
Calcule le périmètre d’un rectangle de 7 cm sur 3 cm.
Résolution :
Formule : \( P = 2(L + l) \)
\( P = 2 \times (7 + 3) = 2 \times 10 = 20\;\text{cm} \)
Réponse : \( P = 20\;\text{cm} \)
Exercice 17 — Périmètre d’un triangle
Énoncé :
Calcule le périmètre d’un triangle avec des côtés 8 cm, 10 cm et 12 cm.
Résolution :
\( P = 8 + 10 + 12 = 30\;\text{cm} \)
Réponse : \( P = 30\;\text{cm} \)
Exercice 18 — Périmètre d’un cercle
Énoncé :
Calcule le périmètre d’un cercle de rayon 10 cm.
Résolution :
\( P = 2\pi \times 10 = 20\pi \approx 62{,}83\;\text{cm} \)
Réponse : \( P \approx 62{,}83\;\text{cm} \)
Exercice 19 — Périmètre d’un triangle équilatéral
Énoncé :
Calcule le périmètre d’un triangle équilatéral de côté 9 cm.
Résolution :
\( P = 3 \times 9 = 27\;\text{cm} \)
Réponse : \( P = 27\;\text{cm} \)
Exercice 20 — Périmètre d’un rectangle
Énoncé :
Calcule le périmètre d’un rectangle de 12 cm sur 6 cm.
Résolution :
\( P = 2 \times (12 + 6) = 2 \times 18 = 36\;\text{cm} \)
Réponse : \( P = 36\;\text{cm} \)
Section 3.5 – Problèmes sur volumes et aires
Cours :
Les problèmes de volumes et d’aires consistent à appliquer les formules pour résoudre des situations concrètes, souvent avec plusieurs étapes :
- Identifier la forme géométrique,
- Calculer les volumes ou aires des parties,
- Additionner ou comparer,
- Vérifier l’unité et la cohérence.
Exercice 21 — Volume d’un aquarium
Énoncé :
Un aquarium en forme de pavé droit mesure 60 cm de long, 30 cm de large et 40 cm de haut. Calcule son volume en litres.
Résolution :
Volume en cm³ : \( V = 60 \times 30 \times 40 = 72\,000\;\text{cm}^3 \)
Conversion en litres : \( 72\,000 \div 1000 = 72\;\text{L} \)
Réponse : \( V = 72\;\text{L} \)
Exercice 22 — Volume d’un cylindre rempli d’eau
Énoncé :
Un cylindre de rayon 5 cm et de hauteur 10 cm est rempli d’eau. Calcule le volume d’eau en cm³.
Résolution :
Formule : \( V = \pi r^2 h \)
\( V = \pi \times 5^2 \times 10 = 250\pi \approx 785{,}4\;\text{cm}^3 \)
Réponse : \( V \approx 785{,}4\;\text{cm}^3 \)
Exercice 23 — Solide composé (cône + cylindre)
Énoncé :
Un cône de rayon 4 cm et hauteur 9 cm est surmonté d’un cylindre de même base et hauteur 12 cm. Calcule le volume total.
Résolution :
Volume du cône : \( V_c = \frac{1}{3}\pi \times 16 \times 9 = 48\pi \approx 150{,}8\;\text{cm}^3 \)
Volume du cylindre : \( V_{cy} = \pi \times 16 \times 12 = 192\pi \approx 603{,}2\;\text{cm}^3 \)
Volume total : \( 48\pi + 192\pi = 240\pi \approx 754\;\text{cm}^3 \)
Réponse : \( V \approx 754\;\text{cm}^3 \)
Exercice 24 — Aire totale d’un cube
Énoncé :
Calcule l’aire totale d’un cube de côté 8 cm.
Résolution :
Formule : \( A = 6c^2 \)
\( A = 6 \times 8^2 = 6 \times 64 = 384\;\text{cm}^2 \)
Réponse : \( A = 384\;\text{cm}^2 \)
Exercice 25 — Périmètre d’un rectangle
Énoncé :
Calcule le périmètre d’un rectangle de longueur 15 m et de largeur 8 m.
Résolution :
Formule : \( P = 2(L + l) \)
\( P = 2 \times (15 + 8) = 2 \times 23 = 46\;\text{m} \)
Réponse : \( P = 46\;\text{m} \)
Exercice 26 — Volume d’un cylindre
Énoncé :
Un cylindre a un rayon de 3 cm et une hauteur de 14 cm. Calcule son volume.
Résolution :
Formule : \( V = \pi r^2 h \)
\( V = \pi \times 3^2 \times 14 = \pi \times 9 \times 14 = 126\pi \approx 395{,}8\;\text{cm}^3 \)
Réponse : \( V \approx 395{,}8\;\text{cm}^3 \)
Exercice 27 — Aire d’un triangle
Énoncé :
Un triangle a une base de 12 cm et une hauteur de 7 cm. Calcule son aire.
Résolution :
Formule : \( A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \)
\( A = \frac{1}{2} \times 12 \times 7 = 6 \times 7 = 42\;\text{cm}^2 \)
Réponse : \( A = 42\;\text{cm}^2 \)
Exercice 28 — Volume d’une boîte rectangulaire
Énoncé :
Une boîte rectangulaire mesure 20 cm × 15 cm × 10 cm. Calcule son volume.
Résolution :
\( V = 20 \times 15 \times 10 = 3000\;\text{cm}^3 \)
Réponse : \( V = 3000\;\text{cm}^3 \)
Exercice 29 — Surface latérale d’un cylindre
Énoncé :
Calcule la surface latérale d’un cylindre de rayon 4 cm et hauteur 9 cm.
Résolution :
Formule : \( A_{lat} = 2 \pi r h \)
\( A_{lat} = 2 \pi \times 4 \times 9 = 72\pi \approx 226{,}2\;\text{cm}^2 \)
Réponse : \( A_{lat} \approx 226{,}2\;\text{cm}^2 \)
Exercice 30 — Aire d’un cercle
Énoncé :
Calcule l’aire d’un cercle de rayon 6 cm.
Résolution :
Formule : \( A = \pi r^2 \)
\( A = \pi \times 6^2 = \pi \times 36 = 36\pi \approx 113{,}1\;\text{cm}^2 \)
Réponse : \( A \approx 113{,}1\;\text{cm}^2 \)