Exercices – Les nombres entiers naturels

1. Écris les nombres entiers naturels entre 7 et 15.
On cherche les entiers naturels \( n \) tels que \( 7 < n \leq 15 \).
Réponse : \( 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 \)

2. Quel est le successeur de 99 ?
Le successeur d’un entier \( n \) est \( n + 1 \).
\( 99 + 1 = 100 \)
Réponse : \( 100 \)

3. Classe dans l’ordre croissant : 12, 5, 8, 20, 15.
On classe les nombres du plus petit au plus grand.
Réponse : \( 5, 8, 12, 15, 20 \)

4. Est-ce que 0 est un nombre entier naturel ?
Par définition, l’ensemble des entiers naturels est : \( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} \)
Réponse : Oui, \( 0 \in \mathbb{N} \)

5. Compare 17 et 23.
On compare : \( 17 < 23 \)
Réponse : \( 17 < 23 \)

6. Trouve tous les entiers naturels \( n \) tels que \( 3 \leq n \leq 7 \).
Réponse : \( 3, 4, 5, 6, 7 \)

7. Donne trois entiers naturels supérieurs à 20.
Réponse possible : \( 21, 22, 23 \)

8. Quel est le plus grand entier naturel inférieur à 100 ?
Le plus grand entier strictement inférieur à 100 est \( 99 \).
Réponse : \( 99 \)

9. Écris les nombres naturels pairs inférieurs à 12.
Les nombres pairs sont divisibles par 2.
Réponse : \( 0, 2, 4, 6, 8, 10 \)

10. Quelle est la différence entre 15 et 9 ?
On calcule : \( 15 – 9 = 6 \)
Réponse : \( 6 \)

Exemples résolus – Calculs avec entiers naturels

1. Addition simple :
\( 7 + 5 = 12 \)

2. Soustraction :
\( 15 – 9 = 6 \)

3. Addition avec regroupement :
\( 8 + 6 + 4 = (8 + 6) + 4 = 18 \)

4. Calcul mixte (soustraction puis addition) :
\( 12 – 7 + 3 = 5 + 3 = 8 \)

5. Propriété commutative de l’addition :
\( 3 + 5 = 5 + 3 = 8 \)

6. Associativité de l’addition :
\( (4 + 7) + 2 = 13 \)
\( 4 + (7 + 2) = 13 \)

7. Soustraction simple :
\( 20 – 15 = 5 \)

8. Addition avec zéro :
\( 10 + 0 = 10 \)

9. Différence nulle :
\( 25 – 25 = 0 \)

10. Calcul mixte avec deux opérations :
\( 30 – 18 + 5 = 12 + 5 = 17 \)

Exemples résolus – Multiplications (détaillés)

1. \( 4 \times 3 = 12 \)
On additionne 4 trois fois : \( 4 + 4 + 4 = 12 \)

2. \( 7 \times 5 = 35 \)
On additionne 7 cinq fois : \( 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35 \)

3. \( 3 \times 8 = 24 \)
On additionne 3 huit fois : \( 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 24 \)

4. \( 5 \times 4 = 4 \times 5 = 20 \)
La multiplication est commutative : l’ordre des facteurs ne change pas le produit.
\( 5 \times 4 = 20 \) et \( 4 \times 5 = 20 \)

5. \( 1 \times 9 = 9 \)
Tout nombre multiplié par 1 reste inchangé : \( 1 \times 9 = 9 \)

6. \( 0 \times 7 = 0 \)
Tout nombre multiplié par 0 donne toujours 0 (propriété d’absorption)

7. \( 6 \times (2 \times 3) = 6 \times 6 = 36 \)
On effectue d’abord la parenthèse : \( 2 \times 3 = 6 \), puis : \( 6 \times 6 = 36 \)

8. \( (6 \times 2) \times 3 = 12 \times 3 = 36 \)
On change l’ordre des regroupements (associativité) :
D’abord \( 6 \times 2 = 12 \), ensuite \( 12 \times 3 = 36 \)

9. \( 9 \times 1 = 9 \)
Propriété de l’élément neutre : multiplier par 1 ne change pas la valeur.

10. \( 4 \times 4 \times 2 = 16 \times 2 = 32 \)
D’abord \( 4 \times 4 = 16 \), puis \( 16 \times 2 = 32 \)

Exemples résolus – Divisions détaillées

1. \( 12 \div 3 = 4 \)
   Car \( 3 \times 4 = 12 \), donc le reste est \( 0 \) :
   \( 12 = 3 \times 4 + 0 \)
2. \( 15 \div 4 = 3 \), reste \( 3 \)
   Car \( 4 \times 3 = 12 \), et \( 15 – 12 = 3 \)
   Donc \( 15 = 4 \times 3 + 3 \)
3. \( 100 \div 10 = 10 \)
   Car \( 10 \times 10 = 100 \), donc \( 100 = 10 \times 10 + 0 \)
4. \( 23 \div 5 = 4 \), reste \( 3 \)
   Car \( 5 \times 4 = 20 \), et \( 23 – 20 = 3 \)
5. 60 bonbons répartis entre 8 enfants :
   \( 60 \div 8 = 7 \), reste \( 4 \)
   Car \( 8 \times 7 = 56 \), et \( 60 – 56 = 4 \)
6. \( 45 \div 9 = 5 \)
   Car \( 9 \times 5 = 45 \), donc division exacte
7. \( 37 \div 6 = 6 \), reste \( 1 \)
   Car \( 6 \times 6 = 36 \), et \( 37 – 36 = 1 \)
8. \( 81 \div 9 = 9 \)
   Car \( 9 \times 9 = 81 \), donc division exacte
9. \( 50 \div 7 = 7 \), reste \( 1 \)
   Car \( 7 \times 7 = 49 \), et \( 50 – 49 = 1 \)
10. \( 64 \div 8 = 8 \)
    Car \( 8 \times 8 = 64 \), donc division exacte

Exemples résolus – Propriétés des opérations (résolution détaillée)

1. \( 3 + 5 = 8 \) et \( 5 + 3 = 8 \)
   On vérifie que \( 3 + 5 = 8 \) et que \( 5 + 3 = 8 \).
   L’ordre des termes n’a pas modifié le résultat.
   Conclusion : l’addition est commutative.
2. \( (2 + 4) + 3 = 6 + 3 = 9 \)
   \( 2 + (4 + 3) = 2 + 7 = 9 \)
   Les deux regroupements donnent le même total.
   Conclusion : l’addition est associative.
3. \( 5 \times (2 + 3) = 5 \times 5 = 25 \)
   \( 5 \times 2 + 5 \times 3 = 10 + 15 = 25 \)
   On obtient le même résultat par développement.
   Conclusion : la multiplication est distributive sur l’addition.
4. \( 2 \times 6 = 12 \) et \( 6 \times 2 = 12 \)
   Le produit reste identique quel que soit l’ordre des facteurs.
   Conclusion : la multiplication est commutative.
5. \( (3 \times 4) \times 2 = 12 \times 2 = 24 \)
   \( 3 \times (4 \times 2) = 3 \times 8 = 24 \)
   Le changement de regroupement ne change pas le produit.
   Conclusion : la multiplication est associative.
6. \( 7 + 0 = 7 \)
   Ajouter zéro ne modifie pas la valeur initiale.
   Conclusion : 0 est l’élément neutre de l’addition.
7. \( 9 \times 1 = 9 \)
   Multiplier par 1 ne modifie pas le nombre.
   Conclusion : 1 est l’élément neutre de la multiplication.
8. Avec \( a = 2, b = 3, c = 4 \) :
   \( (a + b) \times c = (2 + 3) \times 4 = 5 \times 4 = 20 \)
   \( a \times c + b \times c = 2 \times 4 + 3 \times 4 = 8 + 12 = 20 \)
   Les deux calculs donnent le même résultat.
   Conclusion : la distributivité est vérifiée même avec des lettres.
9. \( 7 – 5 = 2 \), mais \( 5 – 7 = -2 \)
   Changer l’ordre change le résultat final.
   Conclusion : la soustraction n’est pas commutative.
10. \( (16 \div 4) \div 2 = 4 \div 2 = 2 \)
    \( 16 \div (4 \div 2) = 16 \div 2 = 8 \)
    Le regroupement modifie le résultat.
    Conclusion : la division n’est pas associative.

Exemples résolus – Multiples et diviseurs (résolution détaillée)

1. Liste les 5 premiers multiples de 4 :
   \( 4 \times 1 = 4,\quad 4 \times 2 = 8,\quad 4 \times 3 = 12,\quad 4 \times 4 = 16,\quad 4 \times 5 = 20 \)
   Réponse : 4, 8, 12, 16, 20
2. Quels sont les diviseurs de 18 ?
   On cherche tous les entiers naturels \( d \) tels que \( 18 \div d \) donne un quotient entier :
   \( 18 \div 1 = 18 \), \( 18 \div 2 = 9 \), \( 18 \div 3 = 6 \), \( 18 \div 6 = 3 \), \( 18 \div 9 = 2 \), \( 18 \div 18 = 1 \)
   Réponse : 1, 2, 3, 6, 9, 18
3. 15 est-il un multiple de 5 ?
   Oui, car \( 15 \div 5 = 3 \), donc \( 15 = 5 \times 3 \)
   Réponse : Oui
4. 7 est-il un diviseur de 28 ?
   Oui, car \( 28 \div 7 = 4 \), donc \( 28 = 7 \times 4 \)
   Réponse : Oui
5. Multiples de 6 entre 10 et 40 :
   On cherche tous les nombres de la forme \( 6 \times n \) avec \( 10 < 6n < 40 \)
   \( 6 \times 2 = 12,\quad 6 \times 3 = 18,\quad 6 \times 4 = 24,\quad 6 \times 5 = 30,\quad 6 \times 6 = 36 \)
   Réponse : 12, 18, 24, 30, 36
6. Diviseurs de 24 :
   On teste tous les entiers naturels \( d \) tels que \( 24 \div d \) est exact :
   \( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \)
   Réponse : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
7. 20 est-il un multiple de 3 ?
   On teste la division : \( 20 \div 3 = 6.66\ldots \), ce n’est pas un entier.
   Réponse : Non, 20 n’est pas divisible par 3.
8. 9 est-il un diviseur de 81 ?
   Oui, car \( 81 \div 9 = 9 \), donc \( 81 = 9 \times 9 \)
   Réponse : Oui
9. Plus petit multiple commun (PPCM) de 3 et 4 :
   Les multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18…
   Les multiples de 4 : 4, 8, 12, 16…
   Le plus petit multiple commun est : 12
10. Plus grand diviseur commun (PGCD) de 12 et 18 :
    Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
    Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18
    Le PGCD est : 6

Exemple détaillé – PPCM et PGCD

Exemple avec 12 et 18 :
Multiples de 12 : 12, 24, 36, 48, …
Multiples de 18 : 18, 36, 54, 72, …
Multiples communs : 36, 72, … donc \( \text{PPCM}(12, 18) = 36 \)
Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18
Diviseurs communs : 1, 2, 3, 6 donc \( \text{PGCD}(12, 18) = 6 \)

Exemples résolus – PPCM et PGCD (résolution détaillée)

1. PPCM de 4 et 6 :
   Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, …
   Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, …
   \( \text{PPCM}(4, 6) = 12 \)
2. PGCD de 8 et 12 :
   Diviseurs de 8 : 1, 2, 4, 8
   Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
   \( \text{PGCD}(8, 12) = 4 \)
3. PPCM de 5 et 10 :
   Multiples de 5 : 5, 10, 15, 20, …
   Multiples de 10 : 10, 20, 30, …
   \( \text{PPCM}(5, 10) = 10 \)
4. PGCD de 15 et 25 :
   Diviseurs de 15 : 1, 3, 5, 15
   Diviseurs de 25 : 1, 5, 25
   \( \text{PGCD}(15, 25) = 5 \)
5. PPCM de 9 et 12 :
   Multiples de 9 : 9, 18, 27, 36, 45, …
   Multiples de 12 : 12, 24, 36, 48, …
   \( \text{PPCM}(9, 12) = 36 \)
6. PGCD de 18 et 24 :
   Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18
   Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
   \( \text{PGCD}(18, 24) = 6 \)
7. PPCM de 7 et 14 :
   Multiples de 7 : 7, 14, 21, 28, …
   Multiples de 14 : 14, 28, 42, …
   \( \text{PPCM}(7, 14) = 14 \)
8. PGCD de 20 et 30 :
   Diviseurs de 20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20
   Diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
   \( \text{PGCD}(20, 30) = 10 \)
9. PPCM de 8 et 10 :
   Multiples de 8 : 8, 16, 24, 32, 40, …
   Multiples de 10 : 10, 20, 30, 40, …
   \( \text{PPCM}(8, 10) = 40 \)
10. PGCD de 9 et 15 :
    Diviseurs de 9 : 1, 3, 9
    Diviseurs de 15 : 1, 3, 5, 15
    \( \text{PGCD}(9, 15) = 3 \)

Exemples résolus – Fractions (résolution détaillée)

1. Représente \( \frac{3}{4} \) :
   On partage une unité en 4 parts égales, puis on en prend 3.
   Interprétation : 3 parts sur 4 sont considérées.
2. Une moitié : \( \frac{1}{2} \)
   Cela signifie que l’on partage quelque chose en 2 parts égales et on en prend 1.
   Interprétation : une demi-unité.
3. Simplifie \( \frac{6}{8} \) :
   On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD (2) :
   \( \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4} \)
   Réponse : \( \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \)
4. Calcule \( \frac{5}{5} \) :
   Le numérateur et le dénominateur sont égaux → on a une unité entière.
   \( \frac{5}{5} = 1 \)
5. 3 parts sur 5 :
   On divise une unité en 5 parts égales et on en prend 3.
   Réponse : \( \frac{3}{5} \)
6. Simplifie \( \frac{10}{15} \) :
   Le PGCD de 10 et 15 est 5 :
   \( \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3} \)
   Réponse : \( \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \)
7. \( \frac{2}{3} \) sur un gâteau en 3 parts :
   On colore 2 parts sur 3 pour représenter \( \frac{2}{3} \).
   Interprétation : 2 parts colorées sur 3.
8. Un quart :
   Cela signifie que l’on prend une part sur 4 parts égales.
   Réponse : \( \frac{1}{4} \)
9. Simplifie \( \frac{12}{16} \) :
   PGCD de 12 et 16 = 4 :
   \( \frac{12 \div 4}{16 \div 4} = \frac{3}{4} \)
   Réponse : \( \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \)
10. Calcule \( \frac{4}{4} \) :
    Même numérateur et dénominateur → 1 unité complète.
    Réponse : \( \frac{4}{4} = 1 \)

Exemples résolus – Addition et soustraction de fractions (résolution détaillée)

1. \( \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)
   Les dénominateurs sont identiques, on additionne les numérateurs : \( 3 + 2 = 5 \)
2. \( \frac{5}{9} – \frac{1}{9} = \frac{4}{9} \)
   Les dénominateurs sont identiques, on soustrait les numérateurs : \( 5 – 1 = 4 \)
3. \( \frac{2}{5} + \frac{3}{10} \)
   On réduit au même dénominateur : \( \frac{2}{5} = \frac{4}{10} \)
   \( \frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10} \)
4. \( \frac{7}{8} – \frac{1}{4} \)
   On convertit \( \frac{1}{4} = \frac{2}{8} \), puis : \( \frac{7}{8} – \frac{2}{8} = \frac{5}{8} \)
5. \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \)
   On réduit au même dénominateur : \( \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \)
   \( \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
6. \( \frac{4}{9} – \frac{1}{3} \)
   On convertit \( \frac{1}{3} = \frac{3}{9} \), puis : \( \frac{4}{9} – \frac{3}{9} = \frac{1}{9} \)
7. \( \frac{5}{12} + \frac{7}{12} = \frac{12}{12} = 1 \)
   On additionne directement car les dénominateurs sont égaux.
8. \( \frac{3}{10} – \frac{1}{5} \)
   On convertit \( \frac{1}{5} = \frac{2}{10} \), puis : \( \frac{3}{10} – \frac{2}{10} = \frac{1}{10} \)
9. \( \frac{2}{7} + \frac{3}{14} \)
   On convertit \( \frac{2}{7} = \frac{4}{14} \), puis : \( \frac{4}{14} + \frac{3}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \)
10. \( \frac{9}{16} – \frac{5}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \)
    On soustrait directement les numérateurs, puis on simplifie.

Section 1.10 – Multiplication et division de fractions

Multiplication :
\( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \)

Division : diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \)

Section 1.11 – Les nombres décimaux

Un nombre décimal possède une partie entière et une partie décimale, séparées par une virgule.
Exemple : \( 12{,}345 \)

Les chiffres après la virgule désignent :
• Les dixièmes (1ʳᵉ position),
• Les centièmes (2ᵉ position),
• Les millièmes (3ᵉ position), etc.

Les nombres décimaux peuvent être comparés, additionnés, soustraits, multipliés ou divisés.

Section 1.12 – Comparaison et ordres

Comparer des nombres revient à déterminer lequel est le plus grand, le plus petit ou s’ils sont égaux.

• Pour les entiers, plus le nombre de chiffres est élevé, plus le nombre est grand.
• Pour les décimaux, on compare de gauche à droite (partie entière, puis décimale).

Section 1.13 – Arrondis et encadrements

Arrondir consiste à approcher un nombre par un autre, selon un certain niveau de précision (unité, dixième, centième, etc.).

• Si le chiffre après la position visée est inférieur à 5, on arrondit par défaut.
• Si ce chiffre est 5 ou plus, on arrondit par excès.

Encadrer consiste à trouver deux nombres entre lesquels un nombre donné est situé.

Section 1.14 – La droite numérique

La droite numérique est une ligne sur laquelle on place des nombres à intervalles réguliers :

• Les nombres augmentent de gauche à droite.
• Les entiers naturels sont espacés uniformément.
• Les décimaux et les fractions sont placés entre les entiers selon leur valeur.

Cette représentation permet de visualiser l’ordre, la distance entre les nombres (valeur absolue), et certaines opérations.

Section 1.14 – La droite numérique

La droite numérique est une ligne sur laquelle on place des nombres à intervalles réguliers :

• Les nombres augmentent de gauche à droite.
• Les entiers naturels sont espacés uniformément.
• Les décimaux et les fractions sont placés entre les entiers selon leur valeur.

Cette représentation permet de visualiser l’ordre, la distance entre les nombres (valeur absolue), et certaines opérations.

Section 1.15 – Le calcul mental

Le calcul mental consiste à effectuer des opérations sans écrire, en utilisant des astuces pour aller plus vite.

Stratégies utiles :

• Utiliser la distributivité : \( a \times (b + c) = a \times b + a \times c \)
• Doubler/diviser pour multiplier facilement par 4 ou 5
• Compléter à la dizaine, centaine, etc.
• Mémoriser les tables d’addition et de multiplication