Section 2.1 – Introduction à l’algèbre : variables et expressions

L’algèbre utilise des lettres pour représenter des nombres inconnus ou variables. Ces lettres sont appelées variables.

Une expression algébrique est une combinaison de nombres, de variables et d’opérations (addition, multiplication, etc.).

Exemples : \( 3x + 5 \), \( 2a – 7b \), \( x^2 + 2x + 1 \)

Section 2.2 – Simplification des expressions algébriques

Simplifier une expression algébrique consiste à :

• Regrouper les termes semblables
• Effectuer les opérations sur les coefficients
• Éliminer les termes nuls

Exemples résolus

Section 2.3 – Développement simple

Le développement consiste à transformer un produit en somme en utilisant la distributivité :

\( a \times (b + c) = a \times b + a \times c \)

Exemples résolus

1. Développe : \( 5(a – 2) \)
   → \( 5 \times a – 5 \times 2 = 5a – 10 \)
   Réponse : \( 5a – 10 \)
2. Développe : \( 2(3x + 5) \)
   → \( 2 \times 3x + 2 \times 5 = 6x + 10 \)
   Réponse : \( 6x + 10 \)
3. Développe : \( 4(y – 3) \)
   → \( 4 \times y – 4 \times 3 = 4y – 12 \)
   Réponse : \( 4y – 12 \)
4. Développe : \( 7(2x + 1) \)
   → \( 7 \times 2x + 7 \times 1 = 14x + 7 \)
   Réponse : \( 14x + 7 \)
5. Développe : \( 6(5a – 4b) \)
   → \( 6 \times 5a – 6 \times 4b = 30a – 24b \)
   Réponse : \( 30a – 24b \)
6. Développe : \( x(2x + 3) \)
   → \( x \times 2x + x \times 3 = 2x^2 + 3x \)
   Réponse : \( 2x^2 + 3x \)
7. Développe : \( -3(4y – 5) \)
   → \( -3 \times 4y + (-3) \times (-5) = -12y + 15 \)
   Réponse : \( -12y + 15 \)
8. Développe : \( 2(3a – 4b + 5c) \)
   → \( 2 \times 3a – 2 \times 4b + 2 \times 5c = 6a – 8b + 10c \)
   Réponse : \( 6a – 8b + 10c \)
9. Développe : \( -x(2x – 7) \)
   → \( -x \times 2x + (-x) \times (-7) = -2x^2 + 7x \)
   Réponse : \( -2x^2 + 7x \)

Section 2.4 – Factorisation simple

La factorisation est l’opération inverse du développement. Elle consiste à mettre en facteur un terme commun dans une somme :

\( ab + ac = a(b + c) \)

Exemples résolus

1. Factorise : \( 5a – 10b \)
   → facteur commun : \( 5 \)
   → \( 5a – 10b = 5(a – 2b) \)
2. Factorise : \( 4x^2 + 8x \)
   → facteur commun : \( 4x \)
   → \( 4x^2 + 8x = 4x(x + 2) \)
3. Factorise : \( 7y + 14z \)
   → facteur commun : \( 7 \)
   → \( 7y + 14z = 7(y + 2z) \)
4. Factorise : \( 9m – 3n \)
   → facteur commun : \( 3 \)
   → \( 9m – 3n = 3(3m – n) \)
5. Factorise : \( 2x^2 – 6x \)
   → facteur commun : \( 2x \)
   → \( 2x^2 – 6x = 2x(x – 3) \)
6. Factorise : \( 8a + 4b \)
   → facteur commun : \( 4 \)
   → \( 8a + 4b = 4(2a + b) \)
7. Factorise : \( 10p – 5q \)
   → facteur commun : \( 5 \)
   → \( 10p – 5q = 5(2p – q) \)
8. Factorise : \( 6x^3 + 9x^2 \)
   → facteur commun : \( 3x^2 \)
   → \( 6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3) \)
9. Factorise : \( 12y^2 – 18y \)
   → facteur commun : \( 6y \)
   → \( 12y^2 – 18y = 6y(2y – 3) \)

Section 2.5 – Identités remarquables

Les identités remarquables sont des formules algébriques très utiles pour développer ou factoriser rapidement certaines expressions.

Les trois identités principales sont :

1. Carré d’une somme : \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
2. Carré d’une différence : \( (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)
3. Différence de carrés : \( a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) \)

Exemples résolus

1. Développe : \( (a – 5)^2 \)
   \( (a – 5)^2 = a^2 – 2 \times a \times 5 + 5^2 = a^2 – 10a + 25 \)
2. Factorise : \( x^2 – 9 \)
   \( x^2 – 9 = x^2 – 3^2 = (x – 3)(x + 3) \)
3. Développe : \( (2x + 1)^2 \)
   \( (2x + 1)^2 = 4x^2 + 2 \times 2x \times 1 + 1 = 4x^2 + 4x + 1 \)
4. Factorise : \( a^2 – b^2 \)
   \( a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) \)
5. Développe : \( (3x – 4)^2 \)
   \( (3x – 4)^2 = 9x^2 – 2 \times 3x \times 4 + 16 = 9x^2 – 24x + 16 \)
6. Développe : \( (x – 7)^2 \)
   \( (x – 7)^2 = x^2 – 2 \times x \times 7 + 49 = x^2 – 14x + 49 \)
7. Factorise : \( 4x^2 – 25 \)
   \( 4x^2 – 25 = (2x)^2 – 5^2 = (2x – 5)(2x + 5) \)
8. Développe : \( (x + 2)^2 \)
   \( (x + 2)^2 = x^2 + 2 \times x \times 2 + 4 = x^2 + 4x + 4 \)
9. Factorise : \( a^2 – 16 \)
   \( a^2 – 16 = a^2 – 4^2 = (a – 4)(a + 4) \)

Section 2.6 – Résolution d’équations simples

Résoudre une équation consiste à trouver les valeurs de la variable qui rendent l’égalité vraie.

• Simplifier chaque membre
• Isole la variable
• Effectue les opérations inverses

Exemples résolus

1. \( 3x = 15 \)
   On divise les deux côtés par 3 : \( x = \frac{15}{3} = 5 \)
2. \( 2x + 4 = 10 \)
   On soustrait 4 : \( 2x = 6 \)
   On divise par 2 : \( x = \frac{6}{2} = 3 \)
3. \( 5x – 7 = 18 \)
   On ajoute 7 : \( 5x = 25 \)
   On divise par 5 : \( x = \frac{25}{5} = 5 \)
4. \( \frac{x}{4} = 3 \)
   On multiplie par 4 : \( x = 3 \times 4 = 12 \)
5. \( 7 + x = 13 \)
   On soustrait 7 : \( x = 13 – 7 = 6 \)
6. \( 9x = 27 \)
   On divise par 9 : \( x = \frac{27}{9} = 3 \)
7. \( 4x + 5 = 21 \)
   On soustrait 5 : \( 4x = 16 \)
   On divise par 4 : \( x = \frac{16}{4} = 4 \)
8. \( 3(x – 1) = 12 \)
   On divise par 3 : \( x – 1 = 4 \)
   On ajoute 1 : \( x = 4 + 1 = 5 \)
9. \( 2x – 3 = 7 \)
   On ajoute 3 : \( 2x = 10 \)
   On divise par 2 : \( x = \frac{10}{2} = 5 \)

Section 2.7 – Résolution d’équations avec parenthèses

Pour résoudre des équations avec parenthèses :

• Développer les expressions
• Rassembler les termes semblables
• Isole la variable et résout

Exemples résolus

1. \( 2(2x – 1) = 10 \)
   \( \Rightarrow 4x – 2 = 10 \)
   \( \Rightarrow 4x = 12 \)
   \( \Rightarrow x = \frac{12}{4} = 3 \)
2. \( 5(x – 3) + 4 = 19 \)
   \( \Rightarrow 5x – 15 + 4 = 19 \)
   \( \Rightarrow 5x – 11 = 19 \)
   \( \Rightarrow 5x = 30 \)
   \( \Rightarrow x = \frac{30}{5} = 6 \)
3. \( 3(2x + 1) – 4 = 11 \)
   \( \Rightarrow 6x + 3 – 4 = 11 \)
   \( \Rightarrow 6x – 1 = 11 \)
   \( \Rightarrow 6x = 12 \)
   \( \Rightarrow x = \frac{12}{6} = 2 \)
4. \( 4(x + 5) = 2(x + 13) \)
   \( \Rightarrow 4x + 20 = 2x + 26 \)
   \( \Rightarrow 2x = 6 \)
   \( \Rightarrow x = \frac{6}{2} = 3 \)
5. \( 7(x – 2) + 3 = 31 \)
   \( \Rightarrow 7x – 14 + 3 = 31 \)
   \( \Rightarrow 7x – 11 = 31 \)
   \( \Rightarrow 7x = 42 \)
   \( \Rightarrow x = \frac{42}{7} = 6 \)
6. \( 2(3x + 4) = 5x + 18 \)
   \( \Rightarrow 6x + 8 = 5x + 18 \)
   \( \Rightarrow x = 10 \)
7. \( 3(x + 1) + 2 = 2x + 11 \)
   \( \Rightarrow 3x + 3 + 2 = 2x + 11 \)
   \( \Rightarrow 3x + 5 = 2x + 11 \)
   \( \Rightarrow x = 6 \)
8. \( 5(x – 4) = 3x + 2 \)
   \( \Rightarrow 5x – 20 = 3x + 2 \)
   \( \Rightarrow 2x = 22 \)
   \( \Rightarrow x = 11 \)
9. \( 4(2x + 1) – 3(x – 2) = 17 \)
   \( \Rightarrow 8x + 4 – 3x + 6 = 17 \)
   \( \Rightarrow 5x + 10 = 17 \)
   \( \Rightarrow 5x = 7 \)
   \( \Rightarrow x = \frac{7}{5} = 1{,}4 \)

Section 2.8 – Résolution d’équations produit nul

Une équation produit nul est de la forme :

\( A \times B = 0 \), donc \( A = 0 \) ou \( B = 0 \)

Exemples résolus

1. \( x(x – 5) = 0 \)
   \( x = 0 \)
   ou
   \( x – 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \)
2. \( (2x + 1)(x – 4) = 0 \)
   \( 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \)
   ou
   \( x – 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \)
3. \( (x + 3)(x + 7) = 0 \)
   \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \)
   ou
   \( x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7 \)
4. \( (3x – 2)(x + 5) = 0 \)
   \( 3x – 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \)
   ou
   \( x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5 \)
5. \( (x – 1)^2(x + 4) = 0 \)
   \( (x – 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
   ou
   \( x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \)
6. \( (x – 2)(2x + 3) = 0 \)
   \( x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
   ou
   \( 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2} \)
7. \( (4x + 1)(x – 7) = 0 \)
   \( 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{4} \)
   ou
   \( x – 7 = 0 \Rightarrow x = 7 \)
8. \( (x + 6)(x – 3) = 0 \)
   \( x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6 \)
   ou
   \( x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
9. \( (2x – 5)(3x + 1) = 0 \)
   \( 2x – 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2} \)
   ou
   \( 3x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3} \)

Section 2.9 – Résolution de systèmes d’équations simples

Un système est un ensemble de deux équations à deux inconnues.

On peut :

• Substituer une expression dans l’autre équation
• Utiliser l’addition ou soustraction des équations

Exemples résolus

1. \(\begin{cases} 2x + y = 10 \\ x – y = 3 \end{cases}\)
   Isolons \( y = x – 3 \), et remplaçons dans la première :
   \( 2x + (x – 3) = 10 \Rightarrow 3x – 3 = 10 \Rightarrow 3x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{3} \)
   \( y = x – 3 = \frac{13}{3} – 3 = \frac{4}{3} \)
2. \(\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x – y = 5 \end{cases}\)
   Isolons \( x = 8 – 2y \), remplaçons :
   \( 3(8 – 2y) – y = 5 \Rightarrow 24 – 6y – y = 5 \Rightarrow -7y = -19 \Rightarrow y = \frac{19}{7} \)
   \( x = 8 – 2 \cdot \frac{19}{7} = \frac{18}{7} \)
3. \(\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x – y = 3 \end{cases}\)
   \( x = y + 3 \), remplaçons :
   \( 2(y + 3) + 3y = 12 \Rightarrow 2y + 6 + 3y = 12 \Rightarrow 5y = 6 \Rightarrow y = \frac{6}{5} \)
   \( x = \frac{6}{5} + 3 = \frac{21}{5} \)
4. \(\begin{cases} 3x + y = 7 \\ x + y = 3 \end{cases}\)
   Soustrayons les deux équations :
   \( (3x + y) – (x + y) = 7 – 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \)
   \( y = 3 – x = 1 \)
5. \(\begin{cases} x + y = 10 \\ 2x – y = 3 \end{cases}\)
   Isolons \( y = 10 – x \), remplaçons :
   \( 2x – (10 – x) = 3 \Rightarrow 2x – 10 + x = 3 \Rightarrow 3x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{3} \)
   \( y = 10 – \frac{13}{3} = \frac{17}{3} \)
6. \(\begin{cases} 2x – y = 4 \\ x + y = 6 \end{cases}\)
   \( y = 6 – x \), remplaçons :
   \( 2x – (6 – x) = 4 \Rightarrow 2x – 6 + x = 4 \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{3} \)
   \( y = 6 – \frac{10}{3} = \frac{8}{3} \)
7. \(\begin{cases} x + 3y = 14 \\ x – y = 2 \end{cases}\)
   \( x = y + 2 \), remplaçons :
   \( y + 2 + 3y = 14 \Rightarrow 4y = 12 \Rightarrow y = 3 \)
   \( x = 3 + 2 = 5 \)
8. \(\begin{cases} 3x + 2y = 18 \\ x – y = 3 \end{cases}\)
   \( x = y + 3 \), remplaçons :
   \( 3(y + 3) + 2y = 18 \Rightarrow 3y + 9 + 2y = 18 \Rightarrow 5y = 9 \Rightarrow y = \frac{9}{5} \)
   \( x = \frac{9}{5} + 3 = \frac{24}{5} \)
9. \(\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x – y = 4 \end{cases}\)
   \( x = 7 – 2y \), remplaçons :
   \( 3(7 – 2y) – y = 4 \Rightarrow 21 – 6y – y = 4 \Rightarrow -7y = -17 \Rightarrow y = \frac{17}{7} \)
   \( x = 7 – 2 \cdot \frac{17}{7} = \frac{15}{7} \)

Section 2.10 – Résolution d’inéquations simples

Une inéquation est une inégalité avec variable.

• On résout comme une équation
• On inverse le sens si on multiplie/divise par un nombre négatif

Exemples résolus

1. Résoudre : \( 2x + 4 \geq 10 \)
   On soustrait 4 des deux côtés :
   \( 2x \geq 6 \)
   Puis on divise par 2 :
   \( x \geq 3 \)
2. Résoudre : \( 5x – 3 \leq 12 \)
   On ajoute 3 des deux côtés :
   \( 5x \leq 15 \)
   On divise par 5 :
   \( x \leq 3 \)
3. Résoudre : \( x – 4 > 6 \)
   On ajoute 4 des deux côtés :
   \( x > 10 \)
4. Résoudre : \( -2x > 6 \)
   On divise par -2 **et on inverse le sens de l’inégalité** :
   \( x < -3 \)
5. Résoudre : \( 3x + 5 \leq 14 \)
   On soustrait 5 :
   \( 3x \leq 9 \)
   On divise par 3 :
   \( x \leq 3 \)
6. Résoudre : \( 4x – 7 < 9 \)
   On ajoute 7 :
   \( 4x < 16 \)
   On divise par 4 :
   \( x < 4 \)
7. Résoudre : \( -5x + 2 \geq 7 \)
   On soustrait 2 :
   \( -5x \geq 5 \)
   On divise par -5 **et on inverse l’inégalité** :
   \( x \leq -1 \)
8. Résoudre : \( 2(x – 3) > 8 \)
   On développe :
   \( 2x – 6 > 8 \)
   On ajoute 6 :
   \( 2x > 14 \)
   On divise par 2 :
   \( x > 7 \)