Problèmes et applications

Chapitre 7 – Solides, volumes et aires

Dans ce chapitre, on étudie les solides (objets en 3 dimensions), leurs volumes et leurs aires. On apprend aussi à analyser des figures géométriques dans l’espace et à utiliser des patrons pour calculer des surfaces.

À quoi ça sert dans la vie de tous les jours ?

  • Calculer le volume d’une piscine, d’un aquarium ou d’un réservoir.
  • Savoir combien de peinture ou de carrelage est nécessaire.
  • Comprendre la forme et les propriétés d’objets réels.
  • Construire ou assembler des objets en respectant des dimensions.

Ce chapitre correspond à l’ensemble des exercices CE1D du thème « Solides, volumes et aires ». :contentReference[oaicite:1]{index=1}

Type 1 – Géométrie dans l’espace : prismes, triangles et propriétés

On observe un solide pour en déduire des propriétés géométriques (longueurs, angles, nature d’un triangle).

Exemples réels :

  • Analyser la forme d’un objet coupé.
  • Comparer des longueurs dans une structure.
  • Identifier un triangle dans un solide.

Méthode – Analyser une figure dans l’espace

  1. Repérer le solide et ses bases.
  2. Identifier le triangle étudié.
  3. Comparer les longueurs à l’aide du solide initial.
  4. Déterminer les angles et la nature du triangle.

Exemple 1 : Deux côtés issus d’arêtes égales → triangle isocèle

Exemple 2 : Angle droit visible → triangle rectangle

Exemple 3 : Triangle rectangle isocèle

Type 2 – Calcul de volume de solides usuels

On calcule le volume d’un solide à l’aide d’une formule.

Exemples réels :

  • Remplir une piscine.
  • Connaître la capacité d’un réservoir.
  • Calculer le volume d’un aquarium.

Méthode – Calculer un volume

  1. Identifier la forme du solide.
  2. Écrire la formule du volume.
  3. Remplacer par les valeurs.
  4. Calculer et écrire l’unité.

Exemple 1 :

Parallélépipède : \(V = 5 \times 3 \times 2 = 30\) m³

Exemple 2 :

Piscine : \(10 \times 4 \times 1,5 = 60\) m³

Exemple 3 :

Pyramide : \(V = \frac{h \times c^2}{3} = \frac{12 \times 9}{3} = 36\) cm³

Type 3 – Aire totale d’un solide à partir d’un patron

On calcule l’aire totale d’un solide en additionnant les aires de toutes ses faces.

Exemples réels :

  • Calculer la surface à peindre.
  • Recouvrir un objet.
  • Assembler un prisme.

Méthode – Aire totale avec un patron

  1. Identifier toutes les faces.
  2. Calculer l’aire de chaque face.
  3. Additionner toutes les aires.
  4. Écrire l’unité.

Exemple 1 : 2 triangles + 3 rectangles → aire totale

Exemple 2 : Bases identiques → calcul une seule fois

Exemple 3 : Aire exprimée en cm²

Type 4 – Aires de figures planes composées

La figure est composée de plusieurs figures simples (carrés, rectangles).

Exemples réels :

  • Plan de maison.
  • Surface de terrain.
  • Zones à carreler.

Méthode – Aire d’une figure composée

  1. Découper la figure en formes simples.
  2. Calculer chaque aire séparément.
  3. Additionner les aires.
  4. Vérifier la cohérence.

Exemple 1 :

2 carrés de 16 m² + 1 rectangle de 24 m² → 56 m²

Exemple 2 :

Rectangle + carré → aire totale

Exemple 3 :

Résultat exprimé en m²

Type 5 – Comparaison de volumes ou d’aires

On compare deux solides ou deux figures pour déterminer lequel a la plus grande aire ou le plus grand volume.

Exemples réels :

  • Choisir le plus grand réservoir.
  • Comparer deux piscines.
  • Comparer des surfaces.

Méthode – Comparer des volumes ou des aires

  1. Calculer chaque aire ou volume.
  2. Comparer les résultats.
  3. Justifier avec les calculs.

Exemple 1 : 40 m³ > 36 m³ → premier plus grand

Exemple 2 : 25 m² < 30 m²

Exemple 3 : Conclusion claire