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Défi Mathématique

Si $6e^n+e^{2n} = e^{3n}$ , trouvez $n$ avec $n \in \mathbb{R}$

Posons $x=e^n$

$\Leftrightarrow 6x+x^2=x^3$
$\Leftrightarrow -x^3+x^2+6x-=0$
$\Leftrightarrow -x(x^2-x-6)=0$
$\Leftrightarrow -x=0$ $\vee$ $(x^2-x-6)=0$

$\Rightarrow x = 0$ $\Leftrightarrow e^n=0$ $\Leftrightarrow n = ln(0)$ , solution à rejeter (voir domaine de $f(x)=ln(x)$ ).

$\Rightarrow x^2-x-6=0$
$\Delta = b^2-4ac = (-1)^2-4(1)(-6)=25$
$\Rightarrow x = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1)+\sqrt{25}}{2(1)}=3 \Leftrightarrow e^n=3 \Leftrightarrow n = ln(3)$
$\Rightarrow x = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1)-\sqrt{25}}{2(1)}=-2 \Leftrightarrow e^n=-2 \Leftrightarrow n = ln(-2)$ , solution à rejeter (voir domaine de $f(x)=ln(x)$ ).

Notre solution est $n=ln(3)$ .

January 8, 2024

gohan

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